用构造法解题对学生思维能力的培养

 

[摘  要] 本文主要如何通过运用构造 法解题，激发学生的发散思维训练，使学生在解题过程，选择最佳的解题方法，从而使学生思维和解题能力得到培养。

[关键词] 构造  创新

 

什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。

1 、构造函数

    函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。

例1、     已知a， b， m∈R⁺，且a < b 求证： （高中代数第二册P₉₁）

     分析：由 知，若用 代替m呢？可以得到 是关于 的分式，若我们令 是一个函数，且 ∈R⁺联想到这时，我们可以构造函数 而又可以化为 而我们又知道 在[0，∞] 内是增函数，从而便可求解。

证明：构造函数 在[0，∞] 内是增函数，

即得 。有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。

例2、设 是正数，证明对任意的自然数n，下面不等式成立。

≤

分析：要想证明 ≤ 只须证明

≤0即证

≥0也是

≥0对一切实数x  都成立，我们发现是不是和熟悉的判别式相同吗？于是我们可以构造这样的二次函数来解题是不是更有创造性。 

解：令

只须判别式△≤0，△= ≤0即得

≤

这样以地于解决问题是很简捷的 证明通过这样的知识转移，使学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的创新意识。

2、构造方程

   有些数学题，经过观察可以构造 一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。     

例3、 若(Z-X)²-4(X-Y)(Y-Z)=0 求证：X ，Y，Z 成等差数列。

     分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看，题条件酷似 一元二次方程 根的判别式。  这里 a = x - y ， b = z - x ， c = y - z ，于是可构造方程 由已知条件可知方程有两个相等根。即   ∴ 。根据根与系数的关系有 即z – y = y - x ， x + z = 2y

∴ x ， y ， z 成等差数列。遇到较为复杂的方程组时，要指导学生会把难的先简单化，可以构造出我们很熟悉的方程。

例4、解方程组 我们在解这个方程组的过程中，如果我们用常规方法来解题就困难了，我们避开这些困难可把原方程化为：             

于是 与 可认为是方程 两根。易求得 再进行求解    (1)       或   (2)   

由(1)得 此时方程无解。

由(2)得 解此方程组得：          

经检验得原方程组的解为：          

      通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。

 在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的"授之以鱼，不如授之以渔"。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造 方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。

     华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。

3. 构造复数来解题

      由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性质出发来解决一些数学难题。

例5、求证： ≥   

    分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到复数的模，构造复数模型就利用复数的性质把问题解决。

证明：设z₁ = a + bi  z₂ = a + ( 1 - b ) i   z₃ = (1-a ) + ( 1 + b ) i  z₄ = ( 1 – a ) + bi

则左边= | z₁ | + | z₂ | + | z₃ | + | z₄ | 

       ≥ | z₁ + z₂ + z₃ +z₄ |

       ≥ | 2 + 2i | =

   即 ≥

例6、实数x，y，z，a，b，c，满足

且xyz≠ 0求证：

通过入微观察，结合所学的空间解析几何知识,可以构造向量

联想到 ≤ 结合题设条件

可知，向量 的夹角 满足 ， 这两个向量 共线，又xyz≠0

所以    

利用向量等工具巧妙地构造 出所证明的不等式的几何模型，利用向量共线条件，可解决许多用普通方法难以处理的问题对培养学生创新思维十分有益。

4. 构造几何图形

     对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的，我们可以构造所需的图形来解题。

例7、 解不等式||x-5|-|x+3||< 6

    分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。

    解：设F(-3，0) F(5，0)则|F₁F₂|=8 ，F₁F₂的中点为O`(1，0)，又设点P(x，0)，当x的值 满足不等式条件时，P点在双曲线 的内部

  ∴ 1-3<x<1+3  即 -2<x<4  是不等式的解。

运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了，引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。

    又如解不等式：

    分析：若是按常规的解法，必须得进行分类讨论而非常麻烦的，观察不等式特点，联想到双曲线的定义，却'柳暗花明又一村"可把原不等式变为

   

    令  则得 由双曲线的定义可知，满足上面不等式的( x，y)在双曲线 的两支之间区域内，因此原不等式与不等式组： 同解

所以不等式的解集为： 。利用定义的特点，把问题的难点转化成简单的问题，从而使问题得以解决。

    在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。

例8、正数x，y，z  满足方程组：

 试求 xy+2yz+3xz的值。

分析： 认真观察发现5，4，3可作为直角三角形三边长，并就每个方程考虑余弦定理，进而构造图形直角三角形ABC，∠ACB=90°三边长分别为3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°并设 OA= x， OB=     ， ， 则x，y，z， 满足方程组，由面积公式得：S₁ + S₂ + S₃ =

    

即得：xy+ 2yz + 3xz = 24  

又例如：a，b，c为正数求证： ≥ 由是 a，b，c为正数及 等，联想到直角三角形又由 联系到可成为正方形的对角线之长，从而我们可构造图形求解。

通过上述简单的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。可见构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。

 

参考文献：

[1] 刘  明：中学数学教学如何实施创新教育    四川教育学院学报2003.12

[2] 丘瑞立：中学数学方法论   广西教育出版社    1998 8

[3] 赵春祥：    浅谈构造数学模型解题  数理化学习      1994.8